MATERI TRIGONOMETRI
KELAS X SMA
A.
Ukuran Sudut
1.
Ukuran Derajat
Besar sudut dalam satu
putaran adalah 360°. Berarti 1°= 1/360
putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil
dari derajat adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).
Hubungan ukuran sudut
menit, detik, dan derajat adalah:
2.
Ukuran Radian
Satu radian adalah besar
sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.
3.
Hubungan Derajat dengan
Radian
Untuk mengubah sudut
sebesar 𝛉
ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:
Dan untuk mengubah
sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:
Contoh Soal
1.
Nyatakan sudut 0,65 radian
dalam satuan derajat!
Jawab :
2.
Nyatakan sudut 154° ke satuan radian!
Jawab:
3.
Suatu lingkaran memiliki panjang busur
15 cm dan dengan sudut pusat 45°,
carilah jari-jari lingkaran tersebut!
Jawab:
Kita
harus merubah 𝛉= 45° ke dalam bentuk radian.
B.
Perbandingan
Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikanlah gambar
berikut!
Jika dipandang dari sudut 𝛉,
maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC
disebut sisi miring.
Jika sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka
Contoh soal
1. Perhatikan gambar
berikut!
Diketahui panjang AC = 9 cm, dan panjang
AB = 12 cm, dengan sudut b = 𝛉. Tentukan nilai dari sin 𝛉, cos 𝛉,
dan tan 𝛉!
Pemecahan:
2. Jika sin 15°= y.
Tentukan nilai trigonometri berikut dalam y!
a. Cos 15°
b. Tan 15°
c. Sin 75°
d. Cos 75°
e. Tan 75°
f.
Cosec
15°
g. Cotan 75°
h. Sec 75°
Pemecahan:
a. Cos 15°
b. Tan 15°
c. Sin 75°
d. Cos 75°
e. Tan 75°
f.
Cosec
15°
g. Cotan 75°
h. Sec 75°
3. Jawablah pertanyaan
berikut!
a. Diketahui 
, tentukanlah nilai
dari sin α, tan α, dan cosec α!
, tentukanlah nilai
dari sin α, tan α, dan cosec α!
b. Tentukan nilai dari
Pemecahan:
a. Diketahui 
b. Nilainya adalah
C.
Perbandingan
Trigonometri Sudut Berelasi
Dalam
satu putaran, yaitu 360°, sudut dibagi menjadi empat relasi, yaitu:
1. Kuadran I : 0°≤ α ≤ 90°
2. Kuadran II : 90° < α ≤ 180°
3. Kuanran III : 180° < α ≤ 270°
4. Kuadran IV : 270° < α ≤ 360°
Perhatikan gambar berikut!
1. Perbandingan
Trigonometri Sudut di Kuadran I
Pada ∆ AOC,
berlaku:
Pada
∆ BOC, berlaku:
2. Perbandingan Trigonometri
Pada Sudut Kuadran II
Pada ∆ AOC,
berlaku: ∠α = 180°- 𝛉
3. Perbandingan
Trigonometri Pada Sudut Kuadran III
Pada ∆ AOC berlaku: ∠ AOP = α
4. Perbandingan
Trigonometri Pada Sudut Kadran IV
sin
(360° - 𝞪) = - sin 𝞪
cos
(360° - 𝞪) = cos 𝞪
tan
(360° - 𝞪) = - tan 𝞪
cosec
(360° - 𝞪) = - cosec 𝞪
sec
(360° - 𝞪) = sec 𝞪
cotan
(360° - 𝞪) = - cotan 𝞪
5. Perbandingan
Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360° atau Sudut Negatif
a.
Perbandingan
Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360°
Sin (k × 360° + 𝞪) = sin 𝞪
Cos (k × 360° + 𝞪) = cos 𝞪
tan (k × 360° + 𝞪) = tan 𝞪
cosec (k × 360° + 𝞪) = cosec 𝞪
sec (k × 360° + 𝞪) = sec 𝞪
cotan (k × 360° + 𝞪) = cotan 𝞪
Keterangan:
k = banyaknya putaran, dengan nilai k
adalah bilangan bulat positif.
b.
Perbandingan
Trigonometri Sudut Negatif
Sin (- 𝞪) = -sin 𝞪
Cos (-𝞪) = cos 𝞪
tan (-𝞪) = -tan 𝞪
cosec (-𝞪) = -cosec 𝞪
sec (-𝞪) = sec 𝞪
cotan (-𝞪) = -cotan 𝞪
Contoh Soal
1. Nyatakan sudut berikut
kedalam perbandingan trigonometri sudut lancip positif!
a.
Sin
175°
b.
Cos
325°
c.
Sec
(-225°)
d.
Tan
780°
e.
Sin
3500°
Pemecahan:
2. Diketahui sin 35° = 2k,
nyatakan trigonometri sudut berikut dalam k!
a.
Sin
55°
b.
Cos
(-215°)
c.
Tan
125°
d.
Cosec
935°
e.
Sin
665°
Pemecahan:
D.
Persamaan
Trigonometri sin x = sin α, cos x = cos α, dan tan x = tan α
1. Jika sin x = sin α,
maka x = α + k . 360° atau x = (180° - α) + k . 360°
2. Jika cos x = sin α,
maka x = α + k . 360° atau x = (360° - α) + k . 360° = -α + k . 360°
3. Jika tan x = tan α,
maka x = α + k . 180°
Contoh Soal
1. Tentukan himpunan
penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!
a.
Sin
x = sin ⅚ 𝛑, 0 ≤ x ≤ 2𝛑
b.
Tan
x = tan ⅓𝛑, 0 ≤ x ≤ 2𝛑
c.
Cos
x = cos 150°, 0° ≤ x ≤ 360°
Pemecahan:
a.
Sin
x = sin ⅚ 𝛑, 0 ≤ x ≤ 2𝛑
Himpunan penyelesaian = {⅚ ,⅙𝛑}
b.
Tan
x = tan ⅓𝛑, 0 ≤ x ≤ 2𝛑
Himpunan penyelesaian={⅓𝛑 ,4/3 𝛑}
c.
Cos
x = cos 150°, 0° ≤ x ≤ 360°
Himpunan penyelesaian= {150°,210°}
2. Tentukan himpunan
penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!
a.
Sin
x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°
b.
Cos
x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°
c.
Tan
x = sin 0°, 180°≤ x ≤ 360°
d.
Cos
3x = cos 180°, 0° ≤ x ≤ 360°
e.
Sin
(30°+x) = sin 75°, 0°≤ x ≤ 270°
f.
Sin
(4x+38°) = sin 173°, 0° ≤ x ≤ 360°
g.
Tan
x = ⅓√3, 0 ≤ x ≤ 2𝛑
Pemecahan:
a.
Sin
x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°
Himpunan penyelesaian={30°,150°}
b.
Cos
x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°
Himpunan penyelesainnya adalah {180°}
c.
Tan
x = sin 0°, 180°≤ x ≤ 360°
Himpunan penyelesaian= {180°,360°}
d.
Cos
3x = cos 180°, 0° ≤ x ≤ 360°
Himpunan penyelesain={60°,180°, 300°}
e.
Sin
(30°+x) = sin 75°, 0°≤ x ≤ 270°
Himpunan penyelesain={45°,75°}
f.
Sin
(4x+38°) = sin 173°, 0° ≤ x ≤ 360°
Himpunan
penyelesaian={33,75°; 82,25°;
123,75°; 172,25°; 213,75°; 262,25°; 303,75°; 352,25°}
g.
Tan
x = ⅓ √3, 0 ≤ x ≤ 2𝛑
Himpunan
penyelesaian = {⅙𝜋, 7/6 𝜋}
E. Identitas Trigonometri
1.
Rumus Dasar
2.
Menentukan Identitas Trigonometri
a.
Ubah bentuk ruas kiri hingga sama dengan bentuk ruas
kanan.
b.
Ubah bentuk ruas kanan hingga sama dengan bentuk tuas
kiri.
c.
Kedua ruas diubah hingga didapat bentuk baru yang sama.
Contoh
Soal
1.
Buktikan bahwa sec2 𝞪 + tan2
𝞪 = 2tan2𝞪+1
2.
Buktikan bahwa sec Y – cos Y = sin Y . tan Y
Penyelesaian:
1.
sec2 𝞪 + tan2 𝞪 =
2tan2𝞪+1
Ruas kiri
= tan2 𝞪 + 1 + tan2
𝞪
= 2 tan2 𝞪+1
2.
sec Y – cos Y = sin Y . tan Y
bukti dengan mengubah ruas kiri
F.
Trigonometri Pada Segitiga Sembarang
1.
Aturan Sinus
Rumus:
Contoh
soal
1)
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan panjang x dalam cm!
Penyelesaian:
2.
Aturan Cosinus
Rumus:
a2
= b2+c2 - 2bc cos 𝞪
b2
= a2+c2 - 2ac cos 𝞫
c2
= a2+b2 - 2ab cos 𝞬
Contoh
soal
1)
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan panjang PR!
Pemecahan:
PR2 = RQ2 + PQ2
– 2RQPQ cos ∠ Q
PR2 = 172 + 302
– 2 . 17 . 30 cos 53°
PR2 = 289 + 900 – 1020 . ⅗
PR2 = 1189 – 612
PR2 = 577
PR = √577 = 24,02 cm
3.
Luas Segitiga
Rumus:
L
= ½ ab sin 𝞬
L
= ½ bc sin 𝞪
L
= ½ ac sin 𝞫
Contoh
Soal
1.
Hitunglah luas ABCD berikut!
Pemecahan:
a.
Untuk ∆ BCD
Luas ∆ BCD = ½ BD.CD. sin ∠ D
Luas ∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . sin 30°
Luas ∆ BCD = ½ . 18√2 . 12√6 . ½ = ¼ .
216√12 = 108√3 cm2
b.
Untuk ∆ ABD
Luas ∆ ABD = ½ AD.BD. sin ∠D
Luas ∆ ABD = ½ . 18. 18√2 . sin 105°
c.
Luas ABCD
Luas ABCD = Luas ∆ BCD + Luas ∆ ABD
Luas ABCD = 108√3 cm2 + 81√3 +
81 cm2
Luas ABCD = 189√3 cm2 + 81 cm2
Luas ABCD = 327,35 + 81
Luas ABCD = 408,35 cm2
